题目内容
【题目】已知动圆
过定点
，且和直线
相切，动圆圆心形成的轨迹是曲线
，过点
的直线与曲线交于
两个不同的点.
（1）求曲线的方程；
（2）在曲线上是否存在定点
，使得以
为直径的圆恒过点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）由抛物线定义确定P的轨迹方程，（2）设
，直线的方程为
，代入抛物线方程，整理得
设存在定点
，由
，代入韦达定理整理得
，利用
即可得
（1）设动圆圆心
到直线
的距离为
，根据题意，
动点形成的轨迹是以
为焦点，以直线为准线的抛物线，
抛物线方程为.
（2）根据题意，设，直线的方程为，代入抛物线方程，整理得
若设抛物线上存在定点
，使得以
为直径的圆恒过点，设，则
，同理可得
解得
在曲线
上存在定点
，使得以为直径的圆恒过点.
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