Question

【题目】已知函数，，设.

（Ⅰ）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若时函数有两个不同的零点、.

①求的取值范围；②求证：.

Answer 1

【答案】（1）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（2）①（，0）②详见解析

【解析】

试题（1）先确定参数：由可得a=b-3. 由函数极值定义知所以a=" -2,b=1" .再根据导函数求单调区间（2）①当时，，原题转化为函数与直线有两个交点，先研究函数图像，再确定b的取值范围是（，0）.

②，由题意得,所以，因此须证，构造函数，即可证明

试题解析：（1）因为，所以,

由可得a=b-3.

又因为在处取得极值，

所以，

所以a=" -2,b=1" .

所以，其定义域为（0，+）

令得，

当（0,1）时，，当（1,+），

所以函数h（x）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.

（2）当时，，其定义域为（0，+）.

①由得，记，则,

所以在单调减，在单调增，

所以当时取得最小值.

又，所以时，而时,

所以b的取值范围是（，0）.

②由题意得,

所以,

所以，不妨设x1<x2,

要证, 只需要证.

即证，设,

则,

所以,

所以函数在（1，+）上单调增，而，

所以即,

所以.