Question

一个边长为2a的正方体容器被水充满,首先把半径为a的球放入其中,再放入一个能被水完全淹没的小球,若想使溢出的水量最大,则这个小球半径为 (　　)

A.(2-)a

B.(-1)a

C.()a

D.a

Answer 1

思路解析:要想使溢出的水量最大,则大球应与正方体的各个面相切;而小球与大球相切,且与正方体从一个顶点出发的三个面相切,因此本题的实质是“两球相外切并分别与正方体相内切,求小球的半径”.如图,作一个包含各数量关系的截面,即正方体的对角面.

解:由正方体与球的对称性,易知大球的球心O₁在长方体的对角线A′C上,且半径R=a.以下求小球的半径r,为此先证明小球的球心也在对角线A′C上.

小球和从顶点C出发的三个面相切,因此小球球心在对角面A′AC上,且小球与下底面的切点N在下底面的对角线AC上.

∵Rt△O₁FC∽Rt△O₂NC,∴

又O₂N=r,∴tan∠O₂CN=.而tan∠A′CA=,∴O₂在对角线A′C上.

∵Rt△O₁O₂E∽Rt△A′CA,∴

∴r=(2-)a.选A.

答案:A

方法归纳  为了开拓思路,本题还可把O₂C、O₁O₂用r表示后,再求得A′O₁,令它们的和等于r,同样可得r.