Question

设已知点．
（Ⅰ）若，求角α的值；
（Ⅱ）若，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）解法一，依题意，由=，可求得cosα=sinα，结合题意可求得角α的值；
解法二，由=，可知点C在直线y=x上，而α∈（，），可求得角α的值；
（Ⅱ）由•=-1，可求得sinα+cosα=，将所求关系式切化弦后得=2sinαcosα，利用（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα即可求得答案．
解答：解：（Ⅰ）解法一：∵A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），
∴=（cosα-3，sinα），=（cosα，sinα-3）．  …（2分）
由=，得=．
即cosα=sinα．                          …（4分）
∵＜α＜，
∴α=．…（6分）
解法二：∵=，
∴点C在直线y=x上．…（3分）
则sinα=cosα．  …（4分）
∵α∈（，），
∴α=．…（6分）
（Ⅱ）=
==2sinαcosα．…（8分）
由•=-1，得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．…（10分）
即 sinα+cosα=．
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=-． …（12分）
∴=．…（13分）
点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查平面向量数量积的坐标运算，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．