Question

如图，是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，PA垂直于⊙O所在的平面PBC．
（1）证明：平面PAC丄平面PBC；
（2）设PA=

3

，AC=1，求A点到平面PCB的距离．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，知BC⊥AC，由PA⊥BC，知BC⊥平面PAC，由此能够证明平面PAC⊥平面PBC．
（2）由（1）知：平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，过A点作PC的垂线，垂足为D，在Rt△PAC中，由PA=

3

，AC=1，知PC=2，由此能求出A点到平面PCB的距离．

解答：证明：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
又∵PA⊥BC，
∴PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PCB，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（2）由（1）知：平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，
∴过A点作PC的垂线，垂足为D，
在Rt△PAC中，PA=

3

，AC=1，∴PC=2，
由AD×PC=PA×AC，
∴AD=

PA×AC

PC

=

1× 3

2

=

3

2

，
∴A点到平面PCB的距离为

3

2

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间总是为平面问题．