题目内容
（2012•郑州二模）选修4-1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．
（I）求证：∠DEA=∠DFA；
（II）若∠EBA=30°，EF=
| 3 |
分析：（Ⅰ）连接AD，BC，证明A，D，E，F四点共圆，可得结论；
（Ⅱ）证明△EFA∽△BCA，可得
=
，所以AF×AB=AC×AE，从而可求AF的长．
（Ⅱ）证明△EFA∽△BCA，可得
| AF |
| AC |
| AE |
| AB |
解答：（Ⅰ）证明：连接AD，BC．
因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，
故A，D，E，F四点共圆，
∴∠DEA=∠DFA；
（Ⅱ）解：在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，
所以△EFA∽△BCA，所以
=
所以AF×AB=AC×AE
设AF=a，则AB=3-a，所以a（3-a）=
(3+a2)，所以a2-2a+1=0，解得a=1
所以AF的长为1．
因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，
故A，D，E，F四点共圆，
∴∠DEA=∠DFA；
（Ⅱ）解：在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，
所以△EFA∽△BCA，所以
| AF |
| AC |
| AE |
| AB |
所以AF×AB=AC×AE
设AF=a，则AB=3-a，所以a（3-a）=
| 1 |
| 2 |
所以AF的长为1．
点评：本题考查四点共圆，考查三角形的相似，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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