Question

甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者不得分，比赛进行到一方比另一方多2分或打满6局时停止，设每局中甲获胜的概率为

2

3

，乙获胜概率为

1

3

，且各局胜负相互独立．
（1）求两局结束时，比赛还要继续的概率
（2）求比赛停止时已打局数ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）事件“两局结束时，比赛还要继续”为前两局甲、乙各胜一局；利用互斥事件的概率和公式及相互独立事件同时发生的概率乘法运算求出事件“两局结束时，比赛还要继续”的概率．
（2）求出随机变量可取得值；利用互斥事件的概率和公式及相互独立事件同时发生的概率乘法公式求出随机变量取每一个值的概率；列出分布列；利用随机变量的期望公式求出随机变量的期望

解答：解：（1）设甲获胜的概率记作P_甲，乙获胜的概率为P_乙，依题，两局结束时，还要进行比赛的概率为P=p甲•p乙+p乙•p甲=

2

3

×

1

3

+

1

3

×

2

3

=

4

9

（4分）
（2）依题，ξ的可能取值为2、4、6
P(ξ=2)=(

2

3

)2+(

1

3

)2=

5

9

P(ξ=4)=

4

9

×

5

9

=

20

81

P(ξ=6)=(

4

9

)2=

16

81

，
故ξ的分布列为

ξ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

（10分）
ξ的期望Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

（12分）

点评：本题考查互斥事件的概率和公式、考查相互独立事件同时发生的概率乘法公式、考查事随机变量的分布列的求法、考查随机变量的期望公式．