Question

6．若x，y都是正数，且x+y=3，则$\frac{4}{x+1}+\frac{1}{y+1}$的最小值为$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 由x，y都是正数，且x+y=3，可得（x+1）+（y+1）=5．可得$\frac{4}{x+1}+\frac{1}{y+1}$=$\frac{1}{5}$[（x+1）+（y+1）]$（\frac{4}{x+1}+\frac{1}{y+1}）$=$\frac{1}{5}$$[5+\frac{4（y+1）}{x+1}+\frac{x+1}{y+1}]$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x，y都是正数，且x+y=3，∴（x+1）+（y+1）=5．
则$\frac{4}{x+1}+\frac{1}{y+1}$=$\frac{1}{5}$[（x+1）+（y+1）]$（\frac{4}{x+1}+\frac{1}{y+1}）$=$\frac{1}{5}$$[5+\frac{4（y+1）}{x+1}+\frac{x+1}{y+1}]$≥$\frac{1}{5}$$（5+2\sqrt{\frac{4（y+1）}{x+1}×\frac{x+1}{y+1}}）$=$\frac{9}{5}$，
当且仅当x+1=2（y+1）=$\frac{10}{3}$时取等号．
故答案为：$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．