Question

16．为响应市政府“绿色出行”的号召，王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行．根据王老师从2017年3月到2017年5月的出行情况统计可知，王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4，骑共享单车的概率
是0.6．乘坐地铁单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的．
（I）求X的分布列和数学期望E（X）；
（II）已知王老师在2017年6月的所有工作日（按22个工作日计）中共花费交通费用110元，请判断王老师6月份的出行规律是否发生明显变化，并依据以下原则说明理由．
原则：设a表示王老师某月每个工作日出行的平均费用，若|a-E（X）≥$\sqrt{\frac{D（X）}{5}}$，则有95%的把握认为王老师该月的出行规律与前几个月的出行规律相比有明显变化．（注：D（X）=$\sum_{i=1}^{n}$（x_i-E（X））²p_i）

Answer 1

分析 （I）依题意知X的可能取值，计算对应的概率值，
写出分布列，计算数学期望值；
（II）根据题意，计算|a-E（X）|与$\sqrt{\frac{D（X）}{5}}$的值，比较得出结论．

解答 解：（I）依题意，X可能的取值是2，4，6，因此X的分布列为：

X	2	4	6
P	0.36	0.48	0.16

由此可知，X的数学期望为E（X）=2×0.36+4×0.48+6×0.16=3.6；  …（5分）
（II）判断：有95%的把握认为王老师该月的出行规律与3～5月的出行规律相比有明显变化，…（6分）
理由如下：
∵6月共有22个工作日，共花费交通费用110元，
∴平均每天出行的费用a=$\frac{110}{22}$=5（元）．   …（7分）
又D（X）=（2-3.6）²×0.36+（4-3.6）²×0.48+（6-3.6）²×0.16=1.92，…（8分）
则|a-E（X）|=|5-3.6|=1.4＞$\sqrt{\frac{1.92}{5}}$．
∴有95%的把握认为王老师该月的出行规律与3～5月的出行规律相比有明显变化．    …（9分）

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．