题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中， 
， 
， 
为
的中点.
（1）求证： 
；
（2）设平面
平面
， 
， 
，求二面角
的平面角的正弦值.
【答案】（1）见解析;（2）
.
【解析】试题分析：
(1)由题意可得证得
平面
，然后利用线面垂直的判断定理即可证得
；
(2)由题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得面角
的平面角的正弦值是
.
试题解析：
（1）设
中点为
，连接
， 
，
因为
，所以
，
又
为
的中点，
所以
.
因为
，所以
，
因为
，所以
平面
，又
平面
，
所以
（2）由（1）知
，
因为平面
平面
，平面
平面
， 
平面
，
所以
平面
，又
.
以
为坐标原点，分别以
， 
， 
为
轴， 
轴， 
轴的正方向建立空间直角坐标系
，如图所示，
因为
， 
， 
，所以
，
由
为
中点， 
， 
，得
， 
，
则， 
， 
， 
， 
， 
， 
设平面
的一个法向量为
，
由
，即
取
，可得
，
因为平面
平面
，平面
平面
， 
平面
，
所以
平面
，所以平面
的一个法向量为
，
∴
，
设二面角
的大小为
，则
所以
，
∴二面角
的平面角的正弦值为
.
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