Question

18．解下列关于x的不等式
（1）$\frac{{{x^2}+1}}{x-1}≥x+\frac{5}{x-1}+3$ 
（2）ax²-（a+2）x+2≤0（其中a＞0）．

Answer 1

分析 （1）根据分式不等式的解法通过讨论分母的符号求出不等式的解集即可；
（2）分解因式化为（ax-2）（x-1）≤0，通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）原不等式可化为：$\frac{{x}^{2}+1}{x-1}$≥$\frac{{x}^{2}+2x+2}{x-1}$，
x＞1时，x²+1≥x²+2x+2，无解，
x＜1时，x²+1≤x²+2x+2，解得：x≥-$\frac{1}{2}$，
故不等式的解集是{x|-$\frac{1}{2}$≤x＜1}；
（2）原不等式可化为（ax-2）（x-1）≤0
当$\frac{2}{a}＞1$，即0＜a＜2时，解集为$\{x|1≤x≤\frac{2}{a}\}$
当$\frac{2}{a}=1$，即a=2时，解集为{1}
当$\frac{2}{a}＜1$，即a＞2时，解集为$\{x|\frac{2}{a}≤x≤1\}$
综上所述，0＜a＜2时，解集为{x|1≤x≤$\frac{2}{a}$}，
a=2时，解集为{1}，
a＞2时，解集为$\{x|\frac{2}{a}≤x≤1\}$．

点评 本题考查了解方式不等式，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．