Question

20．已知函数f（x）=ax²+2ax+1，a≠0．
（Ⅰ） 当a=1时，解不等式f（x）＞4；
（Ⅱ） 若函数f（x）在区间（1，2）上恰有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a的值代入，解不等式即可；（Ⅱ）求出函数的对称轴，根据函数的单调性以及零点的个数单调f（1）f（2）＜0，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x²+2x+1，
由f（x）＞4，即（x+1）²＞4，解得：x＞1或x＜-3，
故不等式的解集是（-∞，-3）∪（1，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=ax²+2ax+1=a（x+1）²+1-a，
函数的对称轴是x=-1，故f（x）在（1，2）单调，
若函数f（x）在区间（1，2）上恰有一个零点，
则f（1）f（2）＜0，即（3a+1）（8a+1）＜0，
解得：-$\frac{1}{3}$＜a＜-$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、零点问题，是一道中档题．