Question

4．设z，ω为复数，i为虚数单位，若（1+2i）•z为纯虚数，z=（1+2i）•ω，|ω|=5，求复数ω．

Answer 1

分析 设ω=a+bi，b≠0，则（1+2i）•z=（1+2i）²•（a+bi）=（-3+4i）（a+bi）=（-3a-4b）+（4a-3b）i，由此利用（1+2i）•z为纯虚数，|ω|=5，能求出复数ω．

解答 解：∵z，ω为复数，i为虚数单位，z=（1+2i）•ω，
∴设ω=a+bi，b≠0，
则（1+2i）•z=（1+2i）²•（a+bi）=（-3+4i）（a+bi）=（-3a-4b）+（4a-3b）i，
∵（1+2i）•z为纯虚数，|ω|=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3a-4b=0}\\{4a-3b≠0}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=25}\end{array}\right.$，
解得a=4，b=-3或a=-4，b=3，
∴ω=4-3i或ω=-4+3i．

点评 本题考查复数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的性质和代数形式的混合运算法则的合理运用．