题目内容
15．已知函数f（x）=$\sqrt{|x-1|+|x-2|-a}$的定义域为R．（1）求实数a的取值范围；
（2）当正数m，n满足m+2n=amax时，求$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值．
分析 （1）由绝对值的意义可得|x-1|+|x-2|≥2，可得a≤2；
（2）可得正数m，n满足m+2n=2，可得$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（m+2n）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2n}{m}$+$\frac{2m}{n}$），由基本不等式可得．
解答 解：（1）∵|x-1|+|x-2|表示x到1和2的距离之和，
由绝对值的意义可得|x-1|+|x-2|≥2，
∵函数f（x）=$\sqrt{|x-1|+|x-2|-a}$的定义域为R，
∴实数a的取值范围为a≤2；
（2）∵正数m，n满足m+2n=amax=2，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（m+2n）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2n}{m}$+$\frac{2m}{n}$）
≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{2m}{n}}$）=$\frac{9}{2}$
当且仅当$\frac{2n}{m}$=$\frac{2m}{n}$即m=n=$\frac{2}{3}$时取等号，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值为$\frac{9}{2}$．
点评 本题考查基本不等式求最值，涉及函数定义域和恒成立，属中档题．
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