Question

点P（x，y）是函数f(x)=

3

2

sinπx(x∈[-

1

2

，

5

2

])图象上的点，已知点Q（2，0），O为坐标原点，则

OP

•

QP

的取值范围为（　　）

• A．[-1，0]
• B．[-1，2]
• C．[0，3]
• D．[-1，

  3

  -1]

Answer 1

分析：由点P和Q的坐标写出向量的坐标，写出数量积后代入y的表达式，化为关于x的函数后利用单调性求最值．

解答：解：由点P（x，y）是函数f(x)=

3

2

sinπx(x∈[-

1

2

，

5

2

])图象上的点，
所以y=

3

2

sinπx．

OP

•

QP

=（x，y）•（x-2，y）=x（x-2）+y²
=x2-2x+(

3

2

sinπx)2=

3

4

sin2πx+x2-2x=

3

4

sin2πx+(x-1)2-1
=(x-1)2-

5

8

-

3

8

cos2πx，
∵x∈[-

1

2

，

5

2

]，∴当x=-1时，

OP

•

QP

有最小值为-1，当x=-

1

2

或

5

2

时，

OP

•

QP

有最大值为2，
所以

OP

•

QP

的取值范围为[-1，2]．
故选B．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了同角三角函数的基本关系式，训练了利用单调性求函数的最值，是中档题．