Question

函数f（x）=log_a（x-3），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，Q（x-2，-y）是函数y=g（x）图象上的点．?
（1）写出函数y=g（x）的解析式．
（2）若f（x）＞g（x），求x的取值范围．?

Answer 1

分析：（1）根据已知条件选择适当方法求出y=g（x）的解析式是解决本题的关键．可以选择相关点代入法求轨迹方程的思想求出
y=g（x）的解析式；注意函数的定义域．
（2）将已知不等式进行等价转化是求解本题的关键；注意在函数的定义域中求解该不等式，注意对数函数单调性的运用．

解答：解：（1）设Q（x，y）是函数y=g（x）图象上的点，则P（x+2，-y）是函数y=f（x）图象上的点，则点P的坐标满足y=f（x）的解析式，即有-y=log_a（x+2-3），从而y=-log_a（x-1），这就是函数y=g（x）的解析式．
（2）若f（x）＞g（x），则有log_a（x-3）＞-log_a（x-1）?log_a（x-3）+log_a（x-1）＞0．
①当a＞1时，上不等式等价于

x-3＞0 x-1＞0 (x-3)(x-1)＞1

，解得x的取值范围是（2+

2

，+∞）；
②当0＜a＜1时，上不等式等价于

x-3＞0 x-1＞0 0＜(x-3)(x-1)＜1

，解得x的取值范围是（3，2+

2

）．
综上，当a＞1时，x的取值范围是（2+

2

，+∞）；当0＜a＜1时，x的取值范围是（3，2+

2

）．

点评：本题考查函数图象之间的关系问题，考查函数解析式的求法，考查对数型不等式的求解，考查函数的定义域意识，考查学生的分类讨论思想和等价转化思想，属于常规题型．