Question

设函数f（x）=log_a（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的解析式；
（2）若当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围；
（3）把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，函数F（x）=2a^1-h（x）-a^2-2h（x）+a^-h（x），（a＞0，且a≠1）在[

1

4

，4]的最大值为

5

4

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）设点Q的坐标为（x'，y'），利用x'=x-2a，y'=-y，转化x=x'+2a，y=-y'．通过点P（x，y）在函数y=log_a（x-3a）图象上，代入即可得到函数y=g（x）的解析式；
（2）通过x∈[a+2，a+3]，求出|f（x）-g（x）|的最大值，利用最大值≤1，即可确定a的取值范围；
（3）利用把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，求出h（x）的解析式，通过函数F（x）=2a^1-h（x）-a^2-2h（x）+a^-h（x），（a＞0，且a≠1）求出F（x）的不等式，通过二次函数在[

1

4

，4]的最大值为

5

4

，求a的值．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）设点Q的坐标为（x'，y'），则x'=x-2a，y'=-y，即x=x'+2a，y=-y'．
∵点P（x，y）在函数y=log_a（x-3a）图象上
∴-y'=log_a（x'+2a-3a），即y′=loga

1

x′-a

∴g(x)=loga

1

x-a

（2）由题意x∈[a+2，a+3]，则x-3a=（a+2）-3a=-2a+2＞0，

1

x-a

=

1

(a+2)-a

＞0．
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-loga

1

x-a

|=|loga(x2-4ax+3a2)|
∵|f（x）-g（x）|≤1∴-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1，r（x）=x²-4ax+3a²对称轴为x=2a
∵0＜a＜1∴a+2＞2a，则r（x）=x²-4ax+3a²在[a+2，a+3]上为增函数，
∴函数u(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2，a+3]上为减函数，
从而[u（x）]_max=u（a+2）=log_a（4-4a）．
[u（x）]_min=u（a+3）=log_a（9-6a），
又0＜a＜1，则

loga(9-6a)≥-1 loga(4-4a)≤1

∴0＜a≤

9- 57

12

（3）由（1）知g(x)=loga

1

x-a

，而把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，则h(x)=loga

1

x

=-logax，
∴F(x)=2a1-h(x)-a2-2h(x)+a-h(x)=2a1+logax-a2+2logax+alogax=2ax-a2x2+x，
即F（x）=-a²x²+（2a+1）x，又a＞0，且a≠1，F（x）的对称轴为x=

2a+1

2a2

，又在[

1

4

，4]的最大值为

5

4

，
①令

2a+1

2a2

＜

1

4

⇒a2-4a-2＞0⇒a＜2-

6

(舍去)或a＞2+

6

；此时F（x）在[

1

4

，4]上递减，∴F（x）的最大值为F(

1

4

)=

5

4

⇒-

1

16

a2+

1

4

(2a+1)=

5

4

⇒a2-8a+16=0⇒a=4∉(2+

6

，+∞)，此时无解；
②令

2a+1

2a2

＞4⇒8a2-2a-1＜0⇒-

1

4

＜a＜

1

2

，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜

1

2

；此时F（x）在[

1

4

，4]上递增，∴F（x）的最大值为F(4)=

5

4

⇒-16a2+8a+4=

5

4

⇒a=

1±4 2

4

，又0＜a＜

1

2

，∴无解；
③令

1

4

≤

2a+1

2a2

≤4⇒

a2-4a-2≤0 8a2-2a-1≥0

⇒

2- 6 ≤a≤2+ 6 a≤- 1 4 或a≥ 1 2

且a＞0，且a≠1
∴

1

2

≤a≤2+

6

且a≠1，此时F（x）的最大值为F(

2a+1

2a2

)=

5

4

⇒-a2

(2a+1)2

4a4

+

(2a+1)2

2a2

=

5

4

⇒

(2a+1)2

4a2

=

5

4

⇒a2-4a-1=0，
解得：a=2±

5

，又

1

2

≤a≤2+

6

且a≠1，∴a=2+

5

；
综上，a的值为2+

5

．

点评：本题考查函数的解析式的求法，坐标变换，函数的最值的应用，函数恒成立问题，二次函数闭区间上的最值问题的求解，综合知识点多，难度较大．