Question

函数f（x）=log_a（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的解析式．?
（2）当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．求解函数y=g（x）的解析式可用代入法．
（2）由x∈[a+2，a+3]，及两对数函数有意义可以得到0＜a＜1，由此可以得到对数函数是减函数，由单调性将恒等式转化为一元二次不等式a≤(x-2a)2-a2≤

1

a

，构造函数h（x）=（x-2a）²-a²，求出h（x）在定义域[a+2，a+3]上的最大值与最小值，再一次将问题转化为

a≤hmin(x) 1 a ≥hmax(x)

，即得参数a的不等式组，解之求得参数的范围．

解答：解：（1）设P（x₀，y₀）是y=f（x）图象上点，令Q（x，y），则

x=x0-2a y=-y0

，
∴

x0=x+2a y0=-y

∴-y=log_a（x+2a-3a），∴y=log_a

1

x-a

（x＞a）
（2）由对数函数的定义得

x-3a＞0 x-a＞0

∴x＞3a
∵f（x）与g（x）在[a+2，a+3]上有意义．
∴3a＜a+2
∴0＜a＜1（6分）
∵|f（x）-g（x）|≤1恒成立|log_a（x-3a）（x-a）|≤1恒成立．

-1≤loga[(x-2a)2-a2]≤1 0＜a＜1

a≤(x-2a)2-a2≤

1

a

对x∈[a+2，a+3]上恒成立，令h（x）=（x-2a）²-a²
其对称轴x=2a，2a＜2，2＜a+2
∴当x∈[a+2，a+3]
h_min（x）=h（a+2），h_max=h（a+3）
∴原问题等价

a≤hmin(x) 1 a ≥hmax(x)

，即

a≤4-4a 1 a ≥9-6a

解得0＜a≤

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点评：本题考点是指数函数综合题，考查根据指数函数的相关性质求参数范围，解决本题关键是根据单调性将问题转化关于参数的方程或不等式组，恒成立问题求参数其规律基本上都是将问题如本题一样转化，请认真体会本解法中问题转化的依据与转化的方式．