Question

函数f（x）=sinx+cosx+sinx•cosx的值域为（　　）

• A、[-1，1]
• B、[-1，

  2

  +

  1

  2

  ]
• C、[-1，

  2

  -

  1

  2

  ]
• D、[-1，

  2

  ]

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：首先采用换元法设sinx+cosx=t，利用三角函数关系式的恒等变换，把函数关系式转化成二次函数的标准形式，进一步利用函数的定义域求函数的值域．

解答： 解：设sinx+cosx=t（-

2

≤t≤

2

）
所以：sinxcosx=

t2-1

2

则：f（x）=sinx+cosx+sinx•cosx
=t+

t2-1

2

=

1

2

(t+1)2-1
当t=

2

时，函数取最大值：f(x)max=f(

2

)=

2

+

1

2

当t=-1时，函数取最小值：f（x）_min=f（-1）=-1
所以函数的值域为：[-1，

2

+

1

2

]
故选：B．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变形，换元法的应用，利用复合函数求函数的最值问题．属于基础题型．