题目内容

数列{xn}中，若x1=1，xn+1=
1
xn+1
-1，则x2010的值为（　　）
分析：根据递推式，写出前几项，可知数列各项以2为周期，成周期出现，进而可以求解．
解答：解：由题意，x1=1，x2=-
1
2
，x3=1，x4=-
1
2
，
由此可知数列各项以2为周期，
∴x2010=-
1
2

故选B．
点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的通项，关键是发现数列各项以2为周期，成周期出现．
练习册系列答案
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设函数f（x）在定义域D上满足f（
1
2
）=-1，f（x）≠0，且当x，y∈D时，f（x）+f（y）=f（
x+y
1+xy
）．若数列{xn}中，x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x
2
n
（xn∈D，n∈N×）．则数列{f（xn）}的通项公式为（　　）
A、f（xn）=2n-1
B、f（xn）=-2n-1
C、f（xn）=-3n+1
D、f（xn）=3n
已知f（x）=-x2+4x，给定x1，数列{xn}满足xn=f（xn-1）（n=2，3，4，…），若无穷个项的数列{xn}中的项能取的不同的值为有限个，则x1的不同的值的个数m满足（　　）
A、m=0B、1≤m≤5C、m＞5且m只有有穷个D、m有无穷个
设函数f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求证：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）证明：存在函数t=φ（s）=as+b（s＞0），满足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）设x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．问：数列{
1
xn-1
}是否为等差数列？若是，求出数列{xn}中最大项的值；若不是，请说明理由．
（2006•朝阳区一模）设函数f（x）在定义域D上满足f（
1
2
）=-1，f（x）≠0，且当x，y∈D时，f（x）+f（y）=f（
x+y
1+xy
），若数列{xn}中，x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x
2
n
（xn∈D，n∈N*），则数列{f（xn）}的通项公式为（　　）
设函数f（x）在定义域D上满足f(
1
2
)=-1，f(x)≠0，且当x，y∈D时，f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，若数列{xn}中，x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x
2
n
(xn∈D，n∈N*)，则数列{f（xn）}的通项公式为
f（xn）=-2n-1
f（xn）=-2n-1
．

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