题目内容
已知f（x）=-x2+4x，给定x1，数列{xn}满足xn=f（xn-1）（n=2，3，4，…），若无穷个项的数列{xn}中的项能取的不同的值为有限个，则x1的不同的值的个数m满足（ ）
| A、m=0 | B、1≤m≤5 | C、m＞5且m只有有穷个 | D、m有无穷个 |
分析：由题设，可对xn=f（xn-1）（n=2，3，4，…），进行变形，得到xn-1+4=
，由此关系对任意的n=2，3，4，…，都成立，由此得到xn-2+4=
，…，x1+4=
，各式相乘得出x1的表达式，再由题设中数列{xn}中的项能取的不同的值为有限个判断出x1的不同的值的个数m．
| xn |
| xn-1 |
| xn-1 |
| xn-2 |
| x2 |
| x1 |
解答：解：由题意（xn-1）2+4（xn-1）=xn，即（xn-1+4）×（xn-1）=xn，即xn-1+4=
，
故有xn-2+4=
，…，x1+4=
各式相乘得：（x1+4）（x2+4）（x3+4）（x4+4）…（xn-1+4）=
∴x1=
xn能取得的值为有限的，而被除的部分（x1+4）（x2+4）（x3+4）（x4+4）…（xn-1+4）的值随着n的变化面变化，知x1的不同取值有无穷个，故m的取值为无穷个
故选D
| xn |
| xn-1 |
故有xn-2+4=
| xn-1 |
| xn-2 |
| x2 |
| x1 |
各式相乘得：（x1+4）（x2+4）（x3+4）（x4+4）…（xn-1+4）=
| xn |
| x1 |
∴x1=
| xn |
| (x1+4)(x2+4)(x3+4)(x4+4)…(xn-1+4) |
xn能取得的值为有限的，而被除的部分（x1+4）（x2+4）（x3+4）（x4+4）…（xn-1+4）的值随着n的变化面变化，知x1的不同取值有无穷个，故m的取值为无穷个
故选D
点评：本题考查数列与函数的综合，解题的关键是根据所给的数列的递推关系，构造出x1的表达式，再由所得的形式判断出它的取值的个数，本题比较抽象，较难理解，此类题易因为不理解而导致无法下手，千百万解题失败，题后要注意总结本题的做题规律及问题转化的依据，本题在变形过程中用到了累乘的技巧，积累一些变形技巧对解题很有帮助．
练习册系列答案
相关题目