Question

设函数f（x）在定义域D上满足f（

1

2

）=-1，f（x）≠0，且当x，y∈D时，f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）．若数列{x_n}中，x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

（x_n∈D，n∈N^×）．则数列{f（x_n）}的通项公式为（　　）

• A、f（x_n）=2^n-1
• B、f（x_n）=-2^n-1
• C、f（x_n）=-3ⁿ⁺¹
• D、f（x_n）=3ⁿ

Answer 1

分析：由所给的函数关系式知f(xn) +f(xn) =f(

2xn

1+xn2

)，而数列之间又具备一个递推式，把递推式代入函数式得2f（x_n）=f（x_n+1），所以数列{f（x_n）}是一个首项为-1，公比是2的等比数列，得到结果．

解答：解：∵f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
∴f(xn) +f(xn) =f(

2xn

1+xn2

)，
∵xn+1=

2xn

1+xn2

，
∴2f（x_n）=f（x_n+1），
∴数列{f（x_n）}是首项为-1，公比是2的等比数列，
∴f（x_n）=-2^n-1，
故选B

点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，所以数列通常与函数知识结合起来，这种题目可以提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．