Question

设函数f（x）在定义域D上满足f(

1

2

)=-1，f(x)≠0，且当x，y∈D时，f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，若数列{x_n}中，x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

(xn∈D，n∈N*)，则数列{f（x_n）}的通项公式为

f（x_n）=-2^n-1

．

Answer 1

分析：在f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，中，令x=y=x_n，由数列{x_n}中，x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

(xn∈D，n∈N*)，得2f（x_n）=f（

2xn

1+xn2

）=f（x_n+1），所以

f(xn+1)

f(xn)

=2，由f(x1) =f(

1

2

) =-1，能求出f（x_n）．

解答：解：∵函数f（x）在定义域D上满足f(

1

2

)=-1，f(x)≠0，
且当x，y∈D时，f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
数列{x_n}中，x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

(xn∈D，n∈N*)，
∴2f（x_n）=f（

2xn

1+xn2

）=f（x_n+1），
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2，
∵f(x1) =f(

1

2

) =-1，
∴f（x_n）=-2^n-1．
故答案为：f（x_n）=-2^n-1．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．