Question

如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC=2．
（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求三棱锥P-AEF的体积．

Answer 1

分析：（1）先根据条件得到PA⊥BC进而得BC⊥平面PAB，把问题转化为证AE⊥平面PBC即可；
（2）先根据第一问的结论以及三垂线定理逆定理可得△PEF∽△PCB，求出S_△PEF，再利用体积相等即可求出结论．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC
∴PA⊥BC…（1分）
又AB⊥BC
∴BC⊥平面PAB，而AE?平面PAB…（2分）
∴BC⊥AE…（3分）
又AE⊥PB
∴AE⊥平面PBC…（5分）
而AE?平面AEF
∴平面平面AEF⊥平面PBC…（6分）
（2）由（1）AE⊥平面PBC
又∵AF⊥PC
∴EF⊥PC（三垂线定理逆定理）…（7分）
∴△PEF∽△PCB…（8分）
∴

S△PEF

S△PBC

=

PE2

PC2

=

( 2 )2

(2 3 )2

=

1

6

…（10分）
∴S_△PEF=

1

6

S_△PBC=

2

3

…（11分）
∴V_P-AEF=V_A-PEF=

1

3

×

2

×

2

3

=

2

9

…（12分）

点评：本题主要考察面面垂直的判定以及棱锥的体积计算．一般在计算三棱锥的体积时，当直接求不出来时，常用体积相等来做．