题目内容
如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求二面角P-CD-B的大小；
（2）求证：平面MND⊥平面PCD；
（3）求点P到平面MND的距离．
分析：（1）根据PA⊥平面ABCD且四边形ABCD是正方形，利用线面垂直的判定与性质证出CD⊥PD且CD⊥AD，可得∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角，Rt△PAD中算出∠PDA=45°，即可得到二面角P-CD-B的大小；
（2）作出如图所示空间直角坐标系，根据题中数据可得
、
、
的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法算出平面MND、平面PCD的法向量分别为
=（-2，-1，1）和
=（0，1，1），算出
•
=0可得
⊥
，从而得出平面MND⊥平面PCD；
（3）由（2）中求出的平面MND法向量
=（-2，-1，1）与向量
=（0，2，-2），利用点到平面的距离公式加以计算即可得到点P到平面MND的距离．
（2）作出如图所示空间直角坐标系，根据题中数据可得
| MN |
| ND |
| PD |
| m |
| n |
| m |
| n |
| m |
| n |
（3）由（2）中求出的平面MND法向量
| m |
| PD |
解答：
解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵PD、CD是平面PCD内的相交直线，
∴CD⊥平面PCD，∵PD?平面PCD，可得CD⊥PD，
因此，∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角
∵Rt△PAD中，PA=AD=2，∴∠PDA=45°，
即二面角P-CD-B的大小为45°；
（2）∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP两两互相垂直，
如图所示，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
M（1，0，0），N（1，1，1），
∴
=（0，1，1），
=（-1，1，-1），
=（0，2，-2）
设
=（x，y，z）是平面MND的一个法向量，
可得
，取y=-1，得x=-2，z=1，
∴
=（-2，-1，1）是平面MND的一个法向量，同理可得
=（0，1，1）是平面PCD的一个法向量，
∵
•
=-2×0+（-1）×1+1×1=0，∴
⊥
，
即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND⊥平面PCD；
（3）由（2）得
=（-2，-1，1）是平面MND的一个法向量，
∵
=（0，2，-2），得
•
=0×（-2）+2×（-1）+（-2）×1=-4，
∴点P到平面MND的距离d=
=
=
．
解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵PD、CD是平面PCD内的相交直线，
∴CD⊥平面PCD，∵PD?平面PCD，可得CD⊥PD，
因此，∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角
∵Rt△PAD中，PA=AD=2，∴∠PDA=45°，
即二面角P-CD-B的大小为45°；
（2）∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP两两互相垂直，
如图所示，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
M（1，0，0），N（1，1，1），
∴
| MN |
| ND |
| PD |
设
| m |
可得
|
∴
| m |
| n |
∵
| m |
| n |
| m |
| n |
即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND⊥平面PCD；
（3）由（2）得
| m |
∵
| PD |
| PD |
| m |
∴点P到平面MND的距离d=
|
| ||||
|
| 4 | ||
|
2
| ||
| 3 |
点评：本题在特殊的四棱锥中证明面面垂直，并求二面角的大小与点到平面的距离，着重考查了利用空间向量研究平面与平面所成角、二面角的定义及求法和点到平面的距离等知识，属于中档题．
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