Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成的角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并求出EF到平面PAC的距离；
（2）命题：“不论点E在边BC上何处，都有PE⊥AF”，是否成立，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设中的条件E，F为中点可得EF∥PC，由此可判断出EF与平面PAC的位置关系是平行，再根据体积相等即可求出EF到平面PAC的距离；
（2）由题设条件及图形可得出AF⊥平面PBE，由线面垂直的定义可得出无论点E在边BC的何处两线都垂直．

解答：解：（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC又EF?平面PAC
而PC?平面PAC
∴EF∥平面PAC．
所以：点E到平面PAC的距离和EF到平面PAC的距离相等．
∵PD与平面ABCD所成的角是30°，
∴PD=

3

，AC=2．
设E到平面PAC的距离为h．
∵V_E-PAC=v_P-AEC⇒

1

3

•h•S_△PAC=

1

3

•PA•S_△AEC⇒h=

PA•S△AEC

S△PAC

=

PA× 1 4 ×SABCD

1 2 ×PA•AC

=

3

8

．
所以：EF到平面PAC的距离为：

3

8

．
（2）∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴EB⊥PA．又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，∴EB⊥平面PAB，
又AF?平面PAB，∴AF⊥BE．
又PA=AB=1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，又∵PB∩BE=B，PB，BE?平面PBE，∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，∴AF⊥PE．
即不论点E在边BC上何处，都有PE⊥AF成立．
即命题成立．

点评：本题中涉及到点、线、面间的距离计算．一般在求点到面的距离当垂线直接不好求时，常用体积相等来求．