Question

（2010•天津模拟）如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成的角是30°，点
F是PB的中点，点E在边BC上移动，
（Ⅰ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；
（Ⅲ）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°？

Answer 1

分析：（I）当点E为BC的中点时，由三角形中位线定理可得EF∥PC，进而由线面平行的判定定理可得EF∥平面PAC．
（II）由题意可得此题是证明线面垂直的问题，即证明直线AF垂直于平面PBE，而当点E在BC上无论怎样运动时直线PE都在此平面内，因此只需证明已知直线垂直于平面内的两条相交直线即可．
（III）过A作AG⊥DG于G，连PG，根据二面角的定义可得∠PAG是二面角P-DE-A的平面角，因为∠PGA=45°且PD与平面ABCD所成角是30°，所以∠PDA=30°，进而可得一些有关相等的长度，设BE=x，则GE=x，CE=3-x，利用△DCE是直角三角形．

解答：解法一：
（Ⅰ）解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点…（1分）
∴EF∥PC
又EF?平面PAC，PC?平面PAC…（2分）
∴EF∥平面PAC…（3分）
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD
∴BE⊥PA
∵ABCD是矩形
∴BE⊥AB…（4分）
又AB∩AP=A，AP、AB?平面ABCD
∴BE⊥平面ABCD
又AF?平面PAB
∴AF⊥BE       …（5分）
又PA=AB=1，且点F是PB的中点
∴PB⊥AF
又∵PB∩BE=B，PB、BE?平面PBE
∴AF⊥平面PBE          …（6分）
∵PE?平面PBE
∴AF⊥PE
故无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF …（7分）
（Ⅲ）解：当BE=

3

-

2

时，二面角P-DE-A的大小为45°…（8分）
过A作AG⊥DE于G，连接PG
又∵DE⊥PA
∴DE⊥平面PAG∴DE⊥PG
则∠PGA是二面角P-DE-A的平面角∴∠PGA=45° …（10分）
∵PA⊥平面ABCD
∴∠PDA就是PD与平面ABCD所成的角，即∠PDA=30°…（11分）
又PA=AB=1，∴AD=

3

∴AG=1，DG=

2

…（12分）
设BE=x，则GE=x，CE=

3

-x
在Rt△DCE中，(

2

+x)2=(

3

-x)2+1
解得：x=

3

-

2

或x=

3

+

2

（舍去）         …（13分）
故当BE=

3

-

2

时，二面角P-DE-A的大小为45°…（14分）

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，得到有关线面垂直、线线垂直的结论，以及利用这些垂直关系解决二面角问题．