题目内容
已知函数f（x）=x3+2x-sinx，（x∈R）
（1）证明：函数f（x）是R上的单调递增函数；
（2）解关于x的不等式f（ax2-x）+f（1-ax）＜0，其中a∈R．
（1）证明：函数f（x）是R上的单调递增函数；
（2）解关于x的不等式f（ax2-x）+f（1-ax）＜0，其中a∈R．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）求函数 导数，利用导数即可证明函数f（x）是R上的单调递增函数；
（2）判断函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化即可解不等式．
（2）判断函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化即可解不等式．
解答：
解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）=3x2+2-cosx，
∵3x2≥0，2-cosx＞0，
∴f′（x）＞0，故函数f（x）是R上的单调递增函数．
（2）∵f（-x）=-x3-2x+sinx=-（x3+2x-sinx）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
则不等式等价为f（ax2-x）＜-f（1-ax）=f（ax-1），
则ax2-x＜ax-1，
整理得ax2-（a+1）x+1＜0，
即（ax-1）（x-1）＜0，
若a=0，则不等式等价为x-1＞0，解得x＞1．
若a＜0，则不等式等价为 a（x-
）（x-1）＜0，
即（x-
）（x-1）＞0，此时不等式的解集为（-∞，
）∪（1，+∞），
若a＞0，不等式等价为 （x-
）（x-1）＜0，
若a=1，则不等式的解集为∅．
若0＜a＜1，不等式的解集为（1，
），
若a＞1，不等式的解集为（
，1）．
∵3x2≥0，2-cosx＞0，
∴f′（x）＞0，故函数f（x）是R上的单调递增函数．
（2）∵f（-x）=-x3-2x+sinx=-（x3+2x-sinx）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
则不等式等价为f（ax2-x）＜-f（1-ax）=f（ax-1），
则ax2-x＜ax-1，
整理得ax2-（a+1）x+1＜0，
即（ax-1）（x-1）＜0，
若a=0，则不等式等价为x-1＞0，解得x＞1．
若a＜0，则不等式等价为 a（x-
| 1 |
| a |
即（x-
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
若a＞0，不等式等价为 （x-
| 1 |
| a |
若a=1，则不等式的解集为∅．
若0＜a＜1，不等式的解集为（1，
| 1 |
| a |
若a＞1，不等式的解集为（
| 1 |
| a |
点评：本题主要考查不等式的求解以及函数单调性的判断和证明，利用导数以及一元二次不等式的解法是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
下列说法正确的是（ ）
| A、命题“若p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题 |
| B、命题“?x0∈R，x02+x0-1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x-1＞0” |
| C、命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题 |
| D、命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1” |
如图所示，程序框图给出了无穷正项数列{an}满足的条件，且当k=5时，输出的S是已知-
＜α＜β＜
，则α-β的范围是（ ）
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
A、（-
| ||||
B、（-
| ||||
C、（-
| ||||
D、（-
|
已知函数g（x）=ax+a，f（x）=
，若对任意的x1∈[-2，2]，存在x2∈[-2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则a的取值范围是（ ）
|
A、[-
| ||
B、[-
| ||
| C、（0，1] | ||
| D、（-∞，1] |
设y=f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤-1时，y=f（x）的图象是经过点（-2，2），斜率为-1的一条射线，又当x∈[-1，0]时，y=f（x）的图象是顶点在（0，2），且过点（-1，1）的一段抛物线．