Question

一动圆与圆外切，与圆内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设过圆心的直线与轨迹相交于、两点，请问（为圆的圆心）的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）．
(2)存在直线,的内切圆M的面积最大值为

1）设动圆圆心为，半径为．
由题意，得，，．    …………3分
由椭圆定义知在以为焦点的椭圆上，且，
．
动圆圆心M的轨迹的方程为．……6分
(2) 如图,设内切圆N的半径为,与直线的切点为C，

则三角形的面积
=
当最大时,也最大, 内切圆的面积也最大, …………7分
设、(),则, ……8分
由,得,
解得,,   …………10分
∴,令,则,且,
有,令,则,
当时,,在上单调递增,有,,
即当,时,有最大值,得,这时所求内切圆的面积为,
∴存在直线,的内切圆M的面积最大值为.          …………14分