Question

【题目】已知f（x）=ax2﹣2（a+1）x+3（a∈R）．
（1）若函数f（x）在 单调递减，求实数a的取值范围；
（2）令h（x）= ，若存在 ，使得|h（x1）﹣h（x2）|≥ 成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：①当a=0时，f（x）=﹣2x+3，显然满足；

② ，③ ，

综上：

（2）解：存在 ，使得|h（x1）﹣h（x2）|≥ 成立即：

在 上，h（x）max﹣h（x）min≥ 成立，

因为 ，令 ，

则 ， ．

（i）当a≤0时，g（t）在 单调递减，所以 ，

等价于 ，所以a≤0．

（ii）当0＜a＜1时， ，g（t）在 上单调递减，

在 上单调递增．

①当 时，即 ，g（t）在 单调递增．

由 得到 ，所以 ．

②当 时， 时，g（t）在 单调递减，

由 得到 ，所以 ．

③当 ，即 时， ，

最大值则在g（2）与 中取较大者，作差比较 ，得到分类讨论标准：

a．当 时， ，此时 ，

由 ，

得到 或 ，

所以 ．

b．当 时， ，此时g（t）max=g（2），

由 ，得到 ，

所以此时a∈，

在此类讨论中， ．

c．当a≥1时，g（t）在 单调递增，由 ，

得到 ，所以a≥1，

综合以上三大类情况，

【解析】（1）对a讨论，a=0，a＞0，a＜0，结合二次函数的图象和单调性的性质，得到不等式组，解不等式即可得到a的范围；（2）由题意可得在 上，h（x）max﹣h（x）min≥ 成立，因为 ，令 ，则 ， ．对a讨论，（i）当a≤0时，（ii）当0＜a＜1时，求出单调性和最值，即可得到a的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．