Question

由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项,将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项.按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”，将构图边数增加到可得到“边形数列”，记它的第项为，

1，3，6，10        1，4，9，16          1，5，12，22         1，6，15，28
（1）      求使得的最小的取值；
（2）      试推导关于、的解析式；
( 3) 是否存在这样的“边形数列”,它的任意连续两项的和均为完全平方数,若存在,指出所有满足条件的数列并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解: (1),                                           3分
由题意得,
所以,最小的.                                            5分
(2)设边形数列所对应的图形中第层的点数为,则
从图中可以得出:后一层的点在条边上增加了一点,两条边上的点数不变,
所以,
所以是首项为1公差为的等差数列,
所以.(或等)         13分
(3)                          16分
显然满足题意,                                           17分
而结论要对于任意的正整数都成立,则的判别式必须为零,
所以,,                                       19分
所以,满足题意的数列为“三角形数列”.

略