Question

【题目】定义区间的长度均为,其中

(1)若函数的定义域为值域为写出区间长度的最大值；

(2)若关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为6,求实数的取值范围；

(3)已知求证:关于的不等式的解集构成的各区间的长度和为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）定值为，证明见解析.

【解析】

（1）令求得函数的零点，令，求得定义域区间长度最大时的值.

（2）先求得不等式的解集，设不等式的解集为，根据的长度为列不等式组，由此求得的取值范围.

（3）将原不等式转化为分式不等式的形式，结合高次不等式的解法，求得不等式的解集，进而求得不等式解集构成的各区间的长度和为定值.

（1）令，解得，此时为函数的最小值.令，解得，.故定义域区间长度最大时，故区间的长度为.

（2）由得，解得，记.设不等式的解集为，不等式组的解集为.

设不等式等价于，所以，，由于不等式组的解集的个区间长度和为，所以不等式组，当是恒成立.

当时，不等式恒成立，得.

当时，不等式恒成立，分离常数得恒成立. 当时，为单调递增函数，所以，所以，所以实数.

（3）原不等式可化为

①.

令，其判别式，所以有两个不相等的实数根，设，则，根据求根公式可求得.而，.

i)当时，不等式①等价于，解得，即不等式①的解集为，区间长度为.

ii)当时，不妨设，则，，所以.此时不等式①即，解得或，即不等式①的解集为，区间的长度为.

综上所述，关于的不等式的解集构成的各区间的长度和为定值.