Question

【题目】在四棱锥P—ABCD中，PAB为正三角形，四边形ABCD为炬形，平面PAB⊥平面ABCD.AB=2AD，M，N分别为PB，PC中点.

（1）求证:MN//平面PAD;

（2）求二面角B—AM—C的大小；

（3）在BC上是否存在点E，使得EN⊥平面AMV?若存在，求的值:若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）45°（3）存在，

【解析】

(1)欲证//平面,则证明MN∥AD即可.

(2)取中点再建立空间直角坐标系,求得与的法向量再求解即可.
(3)设再根据平面，列出对应的向量，利用数量积为0，求出再计算即可.

证明：(1)∵M,N分别是PB,PC中点

∴MN是△ABC的中位线

∴MN∥BC∥AD

又∵AD平面PAD,MN平面PAD

所以MN∥平面PAD．

解：(2)过点P作PO垂直于AB,交AB于点O,

因为平面PAB⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,

如图建立空间直角坐标系,

设AB＝2,则A(﹣1,0,0),C(1,1,0),

M(,0,),

B(1,0,0),N(),

则

设平面CAM法向量为,

由,得,

令x1＝1,则,即

平面ABM法向量

所以,二面角B﹣AM﹣C的余弦值

因为二面角B﹣AM﹣C是锐二面角,

所以二面角B﹣AM﹣C等于45°

(3)存在点E,使得EN⊥平面AMN

设E(1,λ,0),则,

由可得,

所以在BC存在点E,使得EN⊥平面AMN,

此时．