Question

（本小题12分） 如图，在边长为12的正方形中，点B、C在线段AA′­上，且AB=3，BC=4.作BB1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点B1、P；作CC1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点C1、Q. 现将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得与AA1重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC-A1B1C1.

（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，求证：AP⊥BC;

（2）在三棱柱ABC-A1B1C1中，连接AQ与A1P，求四面体AA1QP的体积；

（3）在三棱柱ABC- A1B1C1中，求直线 PQ与直线AC所成角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）24；（3） .

【解析】

试题分析：（1）由勾股定理逆定理，可得BC⊥AB，再由线面垂直的判定定理和性质定理，即可得证；

（2）求出三角形APA1的面积和Q到面APA1距离，运用棱锥的体积公式，即可得到；

（3）以BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出向量AC，PQ的坐标，由向量的夹角公式，即可得到．

试题解析：（1）因为AB=3，BC=4，

所以图（2）中AC=5，

从而有AC2=AB2+BC2，即BC⊥AB．

又因为BC⊥BB1，

所以BC⊥平面ABB1A1，

则AP⊥BC；

（2），

由于CQ∥面APA1且BC⊥面APA1，

所以Q到面APA1距离就是BC的长4，

所以；

（3）以BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，

则A（3，0，0）、C（0，4，0）、P（0，0，3）、Q（0，4，7）．

所以=（﹣3，4，0），=（0，4，4），

设直线AC与直线PQ所成角为θ，

则 ．

考点：空间直线与平面的位置关系；线面平行和垂直的判定和性质定理及运用；棱锥的体积公式；异面直线所成的角的求法.