Question

等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d．
（Ⅰ）x为何值时，d²取得最小值，最小值是多少；
（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．

Answer 1

分析：（I）如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后的空间图形．利用面面垂直和线面垂直的判定与性质定理和二次函数的单调性即可得出；
（II）在等腰△ADC中，使用余弦定理和利用余弦函数的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后的空间图形．
∵平面APQ⊥平面PBCQ，又∵AR⊥PQ，
∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB．
在Rt△BRD中，BR²=BD²+RD²=1+(

3

-x)2，
AR²=x²．
故d²=BR²+AR²=2x2-2

3

x+4(0＜x＜

3

)．
∴当x=

3

2

时，d²取得最小值

5

2

．
（Ⅱ）∵AB=AC=d，BC=2，
∴在等腰△ADC中，由余弦定理得cosθ=

2d2-22

2d2

，即cosθ=1-

4

2d2

，
∴当d2=

5

2

时，cosθ取得最小值

1

5

．

点评：本题考查了面面垂直和线面垂直的判定与性质定理和二次函数的单调性、余弦定理和余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．