Question

已知P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率为，左焦点为F（-1，0）的椭圆C上，已知与共线，与共线，=0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试用直线PQ的斜率k（k≠0）表示四边形PMQN的面积S，求S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆方程，利用离心率为，左焦点为F（-1，0）的椭圆C上，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，求出|PQ|，|MN|，表示出面积，利用基本不等式，即可得到结论．
解答：解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则a²=b²+c²
∵
∴a=，b=1
∴椭圆的方程为；
（2）由题意，PQ与MN垂直于F，设PQ的方程为y=k（x+1），与椭圆方程联立，可得
（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则，
∴|PQ|==
同理，|MN|=
∴S_PMQN===2-≥
当且仅当k=±1时，取等号
∴四边形PMQN的面积的最小值为．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．