题目内容

(2012•江苏二模)如图,已知椭圆C:
x2
4
+y2=1
,A、B是四条直线x=±2,y=±1所围成的两个顶点.
(1)设P是椭圆C上任意一点,若
OP
=m
OA
+n
OB
,求证:动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程;
(2)若M、N是椭圆C上两个动点,且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积,试探求△OMN的面积是否为定值,说明理由.
分析:(1)设P的坐标,通过
OP
=m
OA
+n
OB
,推出m,n与P的坐标的关系,推出定圆的方程.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),利用直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积,得到x1,x2的关系.求出MN的距离以及O到直线MN的距离,然后证明△OMN的面积是否为定值.
解答:解:(1)易求A(2,1),B(-2,1).…(2分)
设P(x0,y0),则
x02
4
+y02=1
.由
OP
=m
OA
+n
OB
,得
x0=2(m-n)
y0=m+n

所以
4(m-n)2
4
+(m+n)2=1
,即.故点Q(m,n)在定圆x2+y2=
1
2
上.…(8分)
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则
y1y2
x1x2
=-
1
4

平方得x12x22=16y12y22=(4-x12)(4-x22),即x12+x22=4.…(10分)
因为直线MN的方程为(x2-x1)y-(y2-y1)x+x1y2-x2y1=0,
所以O到直线MN的距离为d=
|x1y2-x2y1|
(x2-x1)2+(y2-y1)2
,…(12分)
所以△OMN的面积S=
1
2
MN•l=
1
2
|x1y2-x2y1|=
1
2
x12y22
+x
2
2
y
2
1
-2x1x2y 1y2

=
1
2
x12(1-
x22
4
)+x22(1-
x12
4
)+
1
2
x12x22
=
1
2
x12+x22
=1

故△OMN的面积为定值1.…(16分)
点评:本题考查圆的方程的求法,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,考查转化思想计算能力.
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