Question

13．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，直线y=a与双曲线两条渐近线的左、右交点分别为A，B，若四边形ABF₂F₁的面积为5ab，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线，联立方程求出A，B的坐标，结合梯形的面积公式进行求解转化即可．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由±$\frac{b}{a}$x=a，得x=±$\frac{{a}^{2}}{b}$，即A（-$\frac{{a}^{2}}{b}$，a），B（$\frac{{a}^{2}}{b}$，a）
则AB=$\frac{2{a}^{2}}{b}$，|F₁F₂|=2c，
则四边形ABF₂F₁的面积为S=$\frac{（\frac{2{a}^{2}}{b}+2c）×a}{2}$=（$\frac{{a}^{2}}{b}$+c）a=5ab，
即$\frac{{a}^{2}}{b}$+c=5b，即a²+bc=5b²，
则c²-b²+bc=5b²，
即c²+bc-6b²=0，
则（c-2b）（c+3b）=0，
得c=2b或c=-3b（舍），
则c²=4b²=4c²-4a²，
即3c²=4a²，
即$\sqrt{3}$c=2a，
则$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
即双曲线的离心率e=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
故选：A

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件建立方程组关系求出交点坐标，结合梯形的面积公式进行转化是解决本题的关键．