Question

【题目】若函数f(x)=ax3－bx＋4，当x=2时，函数f(x)有极值－.

(1)求函数的解析式；

(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)f(x)＝x3－4x＋4.(2)－＜k＜.

【解析】试题分析：（1）先对函数进行求导，然后根据，可求出的值，进而确定函数的解析式；（2）由（1）得到函数解析式，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；进而确定函数的大致图象，结合图象可求出的范围.

试题解析：(1)由题意可知f′(x)＝3ax2－b，

于是解得 故所求的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.

(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.

当x变化时f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：

x	(－∞，－2)	－2	(－2,2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	单调递增		单调递减		单调递增

因此，当x＝－2时，f(x)有极大值； 当x＝2时，f(x)有极小值.

所以函数的大致图象如图．

由图可知，关于x的方程f(x)=k有三个零点，实数k的取值范围是 .