Question

【题目】已知椭圆C的中心在原点，焦点F1 ， F2在轴上，焦距为2，离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P是椭圆C上第一象限内的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，半径为 ．求：
（i）点P的坐标；
（ii）直线PI的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆C的方程为 ，（a＞b＞0），

由题意得 ，

解得a2=4，b2=3，

∴椭圆C的方程为 ．

（2）解：（i）∵|PF1|+|PF2|=4，∴在△PF1F2中，|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6，

∴△PF1F2的面积 = （|PF1|+|PF2|+|F1F2|）r= ，

又 = ，

∴ ，由 ，得xP=1，∴P（1， ）．

（ii）∵P（1， ），F1（﹣1，0），∴直线PF1的方程为 = ，

∴3x﹣4y+3=0，

∵△PF1F2的内切圆的半径为 ，∴设I（ ），

则 = ，

解得 或 （舍）．

∴直线PI的方程为y=2x﹣ ．

【解析】（1）设椭圆C的方程为 ，（a＞b＞0），由焦距为2，离心率为 ，列方程组解得a2=4，b2=3，由此能求出椭圆C的方程．（2）（i）由|PF1|+|PF2|=，得|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6，利用△PF1F2的面积能求出P点坐标．（ii）先求出直线PF1的方程，设I（ ），由点到直线的距离公式能求出直线PI的方程．
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．