Question

20．若点P，Q分别是曲线y=$\frac{x+4}{x}$与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ长的最小值为$\frac{7\sqrt{17}}{17}$．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，得到与直线4x+y=0平行的曲线的切线方程，由平行线间的距离公式求得线段PQ长的最小值．

解答 解：由y=$\frac{x+4}{x}$=1+$\frac{4}{x}$，得y′=$-\frac{4}{{x}^{2}}$，
由$-\frac{4}{{x}^{2}}=-4$，得x²=1，
∴x=±1．
当x=1时，y=5，则与4x+y=0且与曲线y=$\frac{x+4}{x}$相切的直线方程为y-5=-4（x-1），即4x+y-9=0．
此时两平行线间的距离为$\frac{|-9|}{\sqrt{17}}=\frac{9\sqrt{17}}{17}$；
当x=-1时，y=-3，则与4x+y=0且与曲线y=$\frac{x+4}{x}$相切的直线方程为y+3=-4（x+1），即4x+y+7=0．
此时两平行线间的距离为$\frac{|7|}{\sqrt{17}}=\frac{7\sqrt{17}}{17}$．
∴曲线y=$\frac{x+4}{x}$与直线4x+y=0上两动点PQ距离的最小值为$\frac{7\sqrt{17}}{17}$．
故答案为：$\frac{7\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查曲线上两动点间距离最值的求法，考查了数形结合的解题思想方法，属中档题．