Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，高为，D是BC的中点，D₁是B₁C₁的中点，求证：
（1）平面A₁BD₁∥平面ADC₁；
（2）CB₁⊥平面ADC₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）连结D₁D，正三棱柱ABC-A₁B₁C中运用平行四边形性质证出四边形AA₁D₁D是平行四边形，得A₁D₁∥AD，结合线面平行判定定理得AD∥平面A₁BD₁，同理C₁D∥平面A₁BD₁，结合面面平行判定定理得平面A₁BD₁∥平面ADC₁；
（2）连结B₁C，矩形BB₁C₁C中利用三角函数证出CB₁⊥C₁D．由线面垂直的性质与判定，结合正三棱柱性质证出
AD⊥CB₁，结合AD、C₁D是平面ADC₁内的相交直线，可得CB₁⊥平面ADC₁．
解答：解：（1）连结D₁D，
∵矩形BB₁C₁C中，D是BC的中点，D₁是B₁C₁的中点，
∴D₁D∥B₁B，且D₁D=B₁B
又∵A₁A∥B₁B，且A₁A=B₁B，
∴A₁A∥D₁D且A₁A=D₁D，可得四边形AA₁D₁D是平行四边形，得A₁D₁∥AD
∵A₁D₁?平面A₁BD₁且AD?平面A₁BD₁，∴AD∥平面A₁BD₁，
同理可得C₁D∥平面A₁BD₁，
∵C₁D、AD是平面ADC₁内的相交直线，∴平面A₁BD₁∥平面ADC₁；
（2）连结B₁C，则
∵Rt△BB₁C中，tan∠BCB₁=，Rt△CDC₁中，tan∠DC₁C==
∴矩形BB₁C₁C中，∠BCB₁=∠DC₁C=90°-∠C₁CB₁，
可得∠C₁CB₁+∠DC₁C=90°，得CB₁⊥C₁D
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥BC，AD⊥BB₁，BC∩BB₁=B
∴AD⊥平面BB₁C₁C，结合CB₁?平面BB₁C₁C，得AD⊥CB₁，
∵AD、C₁D是平面ADC₁内的相交直线
∴CB₁⊥平面ADC₁．
点评：本题在正三棱柱中证明面面平行，并且证明了线面垂直．着重考查了线面平行、面面平行的判定定理，线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．