Question

【题目】如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，.

(Ⅰ)若点为的中点，求证:平面；

(Ⅱ)求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)取的中点为，连结，,先利用线面平行的判定定理可证明∥平面、∥平面，从而可得平面∥平面，进而可得结果；(Ⅱ)连结交于，连结，先证明，结合，可得⊥平面，即四棱锥的高为，利用棱锥的体积公式可得结果.

(Ⅰ)取的中点为，连结，.

∵为等边三角形，∴.

∵，，

∴，

∴，∴.

又∵平面，平面，

∴∥平面.

∵为的中点，为的中点，∴∥.

又∵平面，平面，

∴∥平面.

∵，∴平面∥平面.

又∵平面，∴∥平面.

(Ⅱ)连结交于，连结.

∵，

∴.为的中点.

又∵，，，∴.

又∵，∴，∴.

又∵，∴⊥平面，即四棱锥的高为，

∴四棱锥的体积.