Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右焦点到右准线的距离为3．（椭圆的右准线方程为）

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过的直线与椭圆相交于两点．已知被圆截得的弦长为，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据题意可得， ，结合即可求解.

（2）直线l的方程为x＝my+1，将直线与椭圆联立，利用弦长公式表示出|PQ|，再利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，结合圆截得的弦长为，可求出m2＝1，根据三角形的面积公式即可求解.

（1）解：由题意知 ， ，

因为 ，解得a2＝4，b2＝3，

所以椭圆的方程为: 1

（2）解：由题意知直线l的斜率不为0，由（1）知F（1，0），

设直线l的方程为x＝my+1，P（x，y），Q（x'，y'），

联立直线l与椭圆的方程整理得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，

所以y+y' ，yy' ，

所以|PQ|，

，

因为圆O:x2+y2＝4到l的距离d ，

被圆O:x2+y2＝4截得的弦长为，

即

整理得14＝4（4），解得m2＝1，

所以d ，|PQ| ，

所以S△OPQ .