Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），则动点P的轨迹为圆；
③设θ是△ABC的一内角，且sinθ+cosθ=

7

13

，则x²sinθ-y²cosθ=1表示焦点在x轴上的双曲线
④已知两定点F₁（-1，0），F₂（1，0）和一动点P，若|PF₁|•|PF₂|=a²（a≠0），则点P的轨迹关于原点对称；
其中真命题的序号为

 

（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离；
②用代入法求得P的轨迹方程，即可判断；
③判断θ为钝角，cosθ＜0，从而判断方程所表示的曲线；
④利用两点间的距离公式，化简整理可得结论．

解答： 解：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线．
②∵

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），∴P为弦AB的中点，不妨在单位圆x²+y²=1中，定点A（1，0），动点B（x₁，y₁），设P（x，y），用代入法求得P的轨迹方程是(x-

1

2

)2+y2=

1

4

，∴点P的轨迹为圆，∴②正确；
③∵θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=

7

13

，∴θ∈（

π

2

，π），且|sinθ|＞|cosθ|，∴θ∈（

π

2

，

3π

4

），从而cosθ＜0，∴x²sinθ-y²cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴③不正确；
④|PF₁|•|PF₂|=

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²，设P（x，y）为曲线

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）上任意一点，则P（x，y）关于原点（0，0）的对称点为P′（-x，-y）也在曲线

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）上，∴点P的轨迹曲线

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）关于原点对称，即④正确．
故答案为：②④．

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆与双曲线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．