Question

15．在等比数列{a_n}中，a₂=4，a₆=8a₃．
（1）求a_n；
（2）令b_n=log₂a_n，求数列$\{\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设出公比，利用通项公式建立关系求出公比和首项，可得a_n；．
（2）因为b_n=log₂a_n，求公差通项公式b_n；利用拆项法求解的前n项和T_n．

解答 解：（1）{a_n}为等比数列，设数列{a_n}的公比q，a₂=4，a₆=8a₃．
则$\left\{\begin{array}{l}{a_1}q=4\\{a_1}{q^5}=8{a_1}{q^2}\end{array}\right.$，解得a₁=2，q=2
∴${a_n}={2^n}（n∈{N^*}）$；
（2）由（1）知，${b_n}={log_2}{2^n}=n$，
数列$\{\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}\}$=$\{\frac{1}{n（n+1）}\}$
∴${T_n}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n•（n+1）}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
故得数列$\{\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}\}$的前n项和${T_n}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式的求法和利用拆项法求解的前n项和，属于中档题．