题目内容

11．已知△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）用向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{CD}$；
（2）若$\overrightarrow{OE}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$，判断C、D、E是否共线，并说明理由．

分析 （1）由平面向量的加法法则能用向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{CD}$．
（2）由$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OE}=a+b+\frac{3}{5}（{-b}）=a+\frac{2}{5}b$，能求出C、D、E三点不共线．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{b}$．
∴$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AC}$=-$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AO}$）
=2$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$（-$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）
=$\frac{5}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$，
（2）∵$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OE}=a+b+\frac{3}{5}（{-b}）=a+\frac{2}{5}b$，
∴$不存在实数λ，满足\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{CD}$，
∴C、D、E三点不共线．

点评 本题考查向量的求法，考查三点是否共线的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量的运算法则的合理运用．

练习册系列答案
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③若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$则Smin与$|{\overrightarrow b}$|无关．
④若$|{\overrightarrow b}|＞4|{\overrightarrow a}$|，则Smin＞0
⑤若|$\overrightarrow b|=2|\overrightarrow a|，S{\;}_{min}=8|\overrightarrow a{|^2}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
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