Question

6．已知两个不相等的非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$两组向量$\overrightarrow{{x}_{1}}$、$\overrightarrow{{x}_{2}}$、$\overrightarrow{{x}_{3}}$、$\overrightarrow{{x}_{4}}$、$\overrightarrow{{x}_{5}}$和$\overrightarrow{{y}_{1}}$、$\overrightarrow{{y}_{2}}$、$\overrightarrow{{y}_{3}}$、$\overrightarrow{{y}_{4}}$、$\overrightarrow{{y}_{5}}$均由2个$\overrightarrow{a}$和3个$\overrightarrow{b}$排列而成．记S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$+$\overrightarrow{{x}_{5}}$•$\overrightarrow{{y}_{5}}$，S_min表示S所有可能取值中的最小值．则下列说法正确的有几个（　　）
①S有5个不同的值．    
②若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则S_min与$|{\overrightarrow a}$|无关
③若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$则S_min与$|{\overrightarrow b}$|无关．
④若$|{\overrightarrow b}|＞4|{\overrightarrow a}$|，则S_min＞0
⑤若|$\overrightarrow b|=2|\overrightarrow a|，S{\;}_{min}=8|\overrightarrow a{|^2}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由条件即可得出$S=2{\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow{b}}^{2}$，或${\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，或${\overrightarrow{b}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，先可判断①错误，而$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$时，便可得出${S}_{min}={\overrightarrow{b}}^{2}$，从而判断出②正确，$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$时，可设$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$，从而可判断③错误，而$|\overrightarrow{b}|=4|\overrightarrow{a}|$时，可以求出${S}_{min}=16{\overrightarrow{a}}^{2}+16{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞＞0$，从而判断出④正确，而$|\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}|$，且${S}_{min}=8|\overrightarrow{a}{|}^{2}$时，可以求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$，从而判断说法⑤错误，从而找出正确选项．

解答 解：根据条件得，$S=2{\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow{b}}^{2}$，或${\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，或${\overrightarrow{b}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$；
∴①错误；
$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$时，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，∴${S}_{min}={\overrightarrow{b}}^{2}$；
即S_min与$|\overrightarrow{a}|$无关；
∴②正确；
若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，设$\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$，则S=$（2{k}^{2}+3）{\overrightarrow{b}}^{2}$，或$（{k}^{2}+2+2k）{\overrightarrow{b}}^{2}$，或$（1+4k）{\overrightarrow{b}}^{2}$；
∴S_min与$|\overrightarrow{b}|$有关；
∴③错误；
若$|\overrightarrow{b}|＞4|\overrightarrow{a}|$，当$|\overrightarrow{b}|=4|\overrightarrow{a}|$时，S=$50{\overrightarrow{a}}^{2}$，或${\overrightarrow{a}}^{2}+32{\overrightarrow{a}}^{2}+8{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$，或$16{\overrightarrow{a}}^{2}+16{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$；
∴S_min＞0；
∴④正确；
若$|\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}|$，则$S=14{\overrightarrow{a}}^{2}$，或$8{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}{+2\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$，或$4{\overrightarrow{a}}^{2}+8{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$；
∴${S}_{min}=8|\overrightarrow{a}{|}^{2}$时，${\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$，或$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{2π}{3}$或$\frac{π}{3}$；
∴⑤错误；
故说法正确的有2个．
故选B．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，共线向量基本定理，以及向量夹角的范围．