Question

已知离心率为的椭圆上的点到左焦点的最长距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过椭圆的左焦点任作一条与两坐标轴都不垂直的弦，若点在轴上，且使得为的一条内角平分线，则称点为该椭圆的“左特征点”，求椭圆的“左特征点”的坐标．

Answer 1

（1）椭圆的方程为，其准线方程为；(2)．

试题分析：（1）由题意知：，解得，，
故椭圆的方程为，其准线方程为       4分
(2)设为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，可设直线的方程为：，
联立方程组，消去得，即，
设，则
∵被轴平分，∴，即，
，
即，
∴于是，

∵，∴，即，∴．
点评：中档题，不必太其椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）涉及新定义问题，注意理解其实质内容。