题目内容
（文）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．（1）已知曲线C1的方程为
，伸缩比λ=2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；（2）已知抛物线C1：y2=2x，经过伸缩变换后得抛物线C2：y2=32x，求伸缩比λ．
（3）射线l的方程
，如果椭圆C1：
经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且
，求椭圆C2的方程．
【答案】分析：（1）曲线C1的方程为
，伸缩比λ=2，根据“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；
（2）抛物线C1：y2=2x，经过伸缩变换后得抛物线C2：λ2y2=λx，⇒y2=
x对照方程得出λ即可；
（3）根据C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），解方程组结合弦长公式得出关于λ的方程，解得λ，最后写出椭圆C2的方程即得．
解答：解：（1）曲线C1的方程为
，伸缩比λ=2，
∴C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程为：
，即
；
（2）抛物线C1：y2=2x，经过伸缩变换后得抛物线C2：λ2y2=λx，⇒y2=
x
=32，⇒则伸缩比λ=
；
（3）∵C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），
得到C2
，（12分）
解方程组
得点A的坐标为
（14分）
解方程组
得点B的坐标为
（15分）
=
=
，
化简后得3λ2-8λ+4=0，解得
，
因此椭圆C2的方程为
或
．（18分）（漏写一个方程扣2分）
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于基础题．
，伸缩比λ=2，根据“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；（2）抛物线C1：y2=2x，经过伸缩变换后得抛物线C2：λ2y2=λx，⇒y2=
x对照方程得出λ即可；（3）根据C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），解方程组结合弦长公式得出关于λ的方程，解得λ，最后写出椭圆C2的方程即得．
解答：解：（1）曲线C1的方程为
，伸缩比λ=2，∴C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程为：
，即
；（2）抛物线C1：y2=2x，经过伸缩变换后得抛物线C2：λ2y2=λx，⇒y2=
x
=32，⇒则伸缩比λ=
；（3）∵C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），
得到C2
，（12分）解方程组
得点A的坐标为
（14分）解方程组
得点B的坐标为
（15分）
=
=
，化简后得3λ2-8λ+4=0，解得
，因此椭圆C2的方程为
或
．（18分）（漏写一个方程扣2分）点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于基础题．
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在映射f下的象为点
，记作
. 
，
,
. 如果存在一个圆，使所有的点
都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点
的一个收敛圆. 特别地，当
时，则称点
在映射f下的象为点
. 
且
